VellerCorporation: 3.8.- Trasformada de Derivadas

lunes, 16 de mayo de 2011

Teorema [Transformada de una derivada]

Si $y^{\prime}(t)$ es continua a trozos y de orden exponencial en el intervalo $[0,+ \infty[$ , entonces

$\displaystyle {\cal L} \{ y(t) \} = sY(s) - y(0)$

Demostración
Integrando por partes

$\displaystyle {\cal L} \{ y^{\prime}(t) \}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \int_0^{\infty} e^{-st}y^{}(t) dt$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle e^{-st}y(t) \Bigr\vert^{\infty}_0 + s \int_0^{\infty} e^{-st}y(t) dt$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle -y(0) + s {\cal L} \{ y(t)\}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle s Y(s) - y(0)$

Con un argumento similar podemos demostrar que

$\displaystyle {\cal L} \{ y^{\prime \prime}(t) \}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle -y^{\prime}(0) + s {\cal } \{ y^{\prime}(t) \}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle -y^{\prime}(0) + s \left( sY(s) - y(0) \right)$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle s^2 Y(s) - y^{\prime}(0) - sy(0)$

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