VellerCorporation: 3.14.- Trasformada Inversa

Al aplicar la transformada de Laplace a una ecuación diferencial la convertimos en una ecuación algebraica, la cual podemos resolver para

, es decir,

. Ahora, como ${\cal L} \{y(t) \} = Y(s)$ si pudiéramos devolvernos obtendríamos la solución

que buscamos. Es decir, necesitamos de la transformada inversa ${\cal L}^{-1} \{Y(s) \}$ , para hallar la función

$\displaystyle y(t) = {\cal L}^{-1} \{F(s) \} = {\cal L}^{-1} \{ G(s) \}$

Entonces definamos la transformada inversa.

Definición [Transformada inversa de Laplace]

es la transformada de Laplace de una función continua

, es decir, ${\cal L} \{f(t) \} =F(s)$ , entonces la transformada inversa de Laplace de

, escrita ${\cal L}^{-1} \{ F(s) \}$ es

, es decir, ${\cal L}^{-1} \{F(s) \} =f(t)$

Ejemplo

Calcule
$\displaystyle {\cal L}^{-1} \left\{ \frac{s}{s^2 + 4} \right\}$

Solución

Puesto que
$\displaystyle {\cal L} \{ Cos(2t) \} = \frac{s}{s^2 + 4}$

tenemos que
$\displaystyle {\cal L}^{-1} \left\{ \frac{s}{s^2 + 4} \right\} = Cos(2t)$

Observación

Existe un problema potencial al trabajar con la transformada inversa, puede no ser única. En efecto, es posible que ${\cal L} \{f(t) \} = {\cal L} \{ g(t) \}$ , siendo $f(t) \neq g(t)$ . Para nuestro propósito esto no es tan malo como parece, pues, si