VellerCorporation: 3.16.- Propiedades de la Trasformada Inversa

Linealidad de la transformada inversa
Sean

funciones continuas a trozos y de orden exponencial en el intervalo $[0,+ \infty[$ tales que ${\cal L} \{f(t) \} =F(s)$ y ${\cal L} \{ g(t) \} = G(s)$ , entonces
$\displaystyle {\cal L}^{-1} \{ \alpha F(s) + G(s) \}$ = $\displaystyle \alpha {\cal L}^{-1} \{F(s) \} + {\cal L}^{-1} \{G(s) \}$
= $\displaystyle \alpha f(t) + g(t)$

Teorema Forma inversa del primer teorema de traslación:

Demostración
La prueba es inmediata apartir de la definción:

3.16.1 Determinación de la Trasformada Inversa Mediante el Uso de las Fracciones Parciales.

Ejemplo
Calcule
$\displaystyle {\cal L}^{-1} \left\{ \frac{4s}{\left(s - 2 \right) \left( s^2 + 4 \right)} \right\}$
Solución
Para usar la propiedad de linealidad de la transformada inversa de Laplace primero debemos expandir
$\displaystyle \frac{4s}{\left(s - 2 \right) \left( s^2 + 4 \right)}$
en fraciones parciales
$\displaystyle \frac{1}{s-2} - \frac{s}{s^2 + 4} + \frac{2}{s^2 + 4}$
ahora sí

$\displaystyle {\cal L}^{-1} \left\{ \frac{4s}{\left(s - 2 \right) \left( s^2 + 4 \right)} \right\}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle {\cal L}^{-1} \left\{ \frac{1}{s-2} \right\} - {\cal L}^{-1} \left\{ \frac{s}{s^2 + 4} \right\} + {\cal L}^{-1} \left\{ \frac{2}{s^2 + 4} \right\}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle e^{2t} - Cos(2t) + Sen(2t)$

El siguiente ejemplo ilustra el proceso que vamos a usar en la solución de ecuaciones diferenciales mediante Laplace. Es un ejemplo que puede ser resuelto de manera más eficiente con las técnicas ya estudiadas, pero el objetivo es aplicar algunas de las propiedades enunciadas hasta ahora e introducir la técnica de solución de ecuaciones diferenciales.

3.16.2 Determinación de la Trasformada Inversa Usando los Teoremas de Heaviside

En ingeniería es común encontrar funciones que corresponden a estados de sí o no, o bien activo o inactivo. Por ejemplo, una fuerza externa que actúa sobre un sistema mecánico o una tensión eléctrica aplicada a un circuito, puede tener que suspenderse después de cierto tiempo. Para tratar de forma efectiva con estas funciones discontinuas conviene introducir una función especial llamada función escalón unitario.

Función de Heaviside
La función escalón unitario o función de Heaviside

se define como

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martes, 24 de mayo de 2011

3.16.- Propiedades de la Trasformada Inversa

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