VellerCorporation: mayo 2011

martes, 24 de mayo de 2011

3.16.- Propiedades de la Trasformada Inversa

Linealidad de la transformada inversa
Sean

funciones continuas a trozos y de orden exponencial en el intervalo $[0,+ \infty[$ tales que ${\cal L} \{f(t) \} =F(s)$ y ${\cal L} \{ g(t) \} = G(s)$ , entonces
$\displaystyle {\cal L}^{-1} \{ \alpha F(s) + G(s) \}$ = $\displaystyle \alpha {\cal L}^{-1} \{F(s) \} + {\cal L}^{-1} \{G(s) \}$
= $\displaystyle \alpha f(t) + g(t)$

Teorema Forma inversa del primer teorema de traslación:

Demostración
La prueba es inmediata apartir de la definción:

3.16.1 Determinación de la Trasformada Inversa Mediante el Uso de las Fracciones Parciales.

Ejemplo
Calcule
$\displaystyle {\cal L}^{-1} \left\{ \frac{4s}{\left(s - 2 \right) \left( s^2 + 4 \right)} \right\}$
Solución
Para usar la propiedad de linealidad de la transformada inversa de Laplace primero debemos expandir
$\displaystyle \frac{4s}{\left(s - 2 \right) \left( s^2 + 4 \right)}$
en fraciones parciales
$\displaystyle \frac{1}{s-2} - \frac{s}{s^2 + 4} + \frac{2}{s^2 + 4}$
ahora sí

$\displaystyle {\cal L}^{-1} \left\{ \frac{4s}{\left(s - 2 \right) \left( s^2 + 4 \right)} \right\}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle {\cal L}^{-1} \left\{ \frac{1}{s-2} \right\} - {\cal L}^{-1} \left\{ \frac{s}{s^2 + 4} \right\} + {\cal L}^{-1} \left\{ \frac{2}{s^2 + 4} \right\}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle e^{2t} - Cos(2t) + Sen(2t)$

El siguiente ejemplo ilustra el proceso que vamos a usar en la solución de ecuaciones diferenciales mediante Laplace. Es un ejemplo que puede ser resuelto de manera más eficiente con las técnicas ya estudiadas, pero el objetivo es aplicar algunas de las propiedades enunciadas hasta ahora e introducir la técnica de solución de ecuaciones diferenciales.

3.16.2 Determinación de la Trasformada Inversa Usando los Teoremas de Heaviside

En ingeniería es común encontrar funciones que corresponden a estados de sí o no, o bien activo o inactivo. Por ejemplo, una fuerza externa que actúa sobre un sistema mecánico o una tensión eléctrica aplicada a un circuito, puede tener que suspenderse después de cierto tiempo. Para tratar de forma efectiva con estas funciones discontinuas conviene introducir una función especial llamada función escalón unitario.

Función de Heaviside
La función escalón unitario o función de Heaviside

se define como

3.15.- Algunas Trasformadas Inversas

Laplace Inversa
1) L-1{

} = 1

2) L-1{

} = t

3) L-1{

} = tn

4) L-1{

} = eat

5) L-1{

} = Sen at

6) L-1{

} = Cos at

7) L-1{

} = Senh at

8) L-1{

} = Cosh at

lunes, 23 de mayo de 2011

3.14.- Trasformada Inversa

Al aplicar la transformada de Laplace a una ecuación diferencial la convertimos en una ecuación algebraica, la cual podemos resolver para

, es decir,

. Ahora, como ${\cal L} \{y(t) \} = Y(s)$ si pudiéramos devolvernos obtendríamos la solución

que buscamos. Es decir, necesitamos de la transformada inversa ${\cal L}^{-1} \{Y(s) \}$ , para hallar la función

$\displaystyle y(t) = {\cal L}^{-1} \{F(s) \} = {\cal L}^{-1} \{ G(s) \}$

Entonces definamos la transformada inversa.

Definición [Transformada inversa de Laplace]

es la transformada de Laplace de una función continua

, es decir, ${\cal L} \{f(t) \} =F(s)$ , entonces la transformada inversa de Laplace de

, escrita ${\cal L}^{-1} \{ F(s) \}$ es

, es decir, ${\cal L}^{-1} \{F(s) \} =f(t)$

Ejemplo

Calcule
$\displaystyle {\cal L}^{-1} \left\{ \frac{s}{s^2 + 4} \right\}$

Solución

Puesto que
$\displaystyle {\cal L} \{ Cos(2t) \} = \frac{s}{s^2 + 4}$

tenemos que
$\displaystyle {\cal L}^{-1} \left\{ \frac{s}{s^2 + 4} \right\} = Cos(2t)$

Observación

Existe un problema potencial al trabajar con la transformada inversa, puede no ser única. En efecto, es posible que ${\cal L} \{f(t) \} = {\cal L} \{ g(t) \}$ , siendo $f(t) \neq g(t)$ . Para nuestro propósito esto no es tan malo como parece, pues, si

son continuas y de orden exponencial en $[0,+ \infty[$ y ${\cal L} \{f(t) \} = {\cal L} \{ g(t) \}$ , entonces

; pero, si

son continuas y de orden exponencial en $[0,+ \infty[$ y ${\cal L} \{ f(t) \} = {\cal } \{g(t) \}$ , entonces se puede demostrar que las funciones

son casi iguales; esto quiere decir, que pueden diferir sólo en puntos de discontinuidad.